第一篇 查了一些fixed point theorem的东西
最近正在上game theory的课，写一些关于这方面的吧。
在证明Nash Equilibrium存在性的过程中需要用到不动点定理，于是今天就去查了一下关于fixed point theorem的内容。
有几个层次的fixed point theorem,最简单的当然就是压缩不动点定理，contraction fixed point theorem，一般学工科的都会学到这个，因为在实际操作中控制精确度时需要用到的，我们学校在教泛函的时候也只讲了这个不动点定理。没有办法了，那课是给电机系开的呀，而不是经济系啊。
然后就是Brouwer’s Fixed Point Theorem了。是关于continuous的function的不动点的。据说证明巨繁琐，怪不得一般的经济学课本上是看不见证明的，只需要应用就可以了。
接着就是从function扩展到correspondence的Kakutani’s Fixed Point Theorem了。这是在证明Nash Equilibrium存在性中最基本的不动点定理。日本人真厉害，扩充了一下，然后就扬名了。中国人的名字在这个领域后面才出现。如果要看证明，推荐的书是
Fixed point theorems with applications to economics and game theory / Kim C. Border.
Cambridge [Cambridgeshire] ; New York : Cambridge University Press, 1985.
想不到图书馆居然有，明天可能去借来看看，看不看得懂以后再说吧。
接着就是KKM Lemma,其中一个K就是还是日本人，但不是Kakutani了。由这个lemma引出FKKM Theorem，这里新增加的F是Fan，终于有中国人的名字了，这个定理有点像一个generalized后的fixed point theorem。嗯，这些就是我所知道的能用到经济学里面的不动点定理了。
在这些人名以后必然还有很多有趣的故事，以后有时间再挖掘吧。
今天就先讲到这里吧。